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函数定义域的类型和解题方法-学而网高考频道

  本文介绍函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域。现举例说明。

  即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

    由①解得  或 。 ③

    由②解得  或 ④

    ③和④求交集得 且 或x>5。

    由③和④求公共部分,得

  抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

    其解法是:已知 的定义域是[a,b]求 的定义域是解 ,即为所求的定义域。

  例3 已知 的定义域为[-2,2],求 的定义域。

    解:令 ,得 ,即 ,因此 ,从而 ,故函数的定义域是 。

    其解法是:已知 的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由 ,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。

  例4 已知 的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。

    即函数f(x)的定义域是 。

  即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

  例5 已知函数 的定义域为R求实数m的取值范围。

  分析:函数的定义域为R,表明 ,使一切x∈R都成立,由 项的系数是m,所以应分m=0或 进行讨论。

  解:当m=0时,函数的定义域为R;

    当 时, 是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是

  例6 已知函数 的定义域是R,求实数k的取值范围。

  解:要使函数有意义,则必须 ≠0恒成立,因为 的定义域为R,即 无实数

  这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。

  例7 将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函数的定义域。

  解:设矩形一边为x,则另一边长为 于是可得矩形面积。

    由问题的实际意义,知函数的定义域应满足

  故所求函数的解析式为 ,定义域为(0, )。

  例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。

  解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。

  例9 已知 的定义域为[0,1],求函数 的定义域。

  解:因为 的定义域为[0,1],即 。故函数 的定义域为下列不等式组的解集:

    即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

    (1)当 时,F(x)的定义域为 ;

    (2)当 时,F(x)的定义域为 ;

    (3)当 或 时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。

  有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。

  解:由 ,即 ,解得 。即函数y的定义域为(-1,3)。

    函数 是由函数 复合而成的。

     ,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间 上是增函数;在区间 上是减函 数,而 在其定义域上单调增;

,所以函数 在区间 上是增函数,在区间 上是减函数。