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函数定义域的类型和解题方法

来源:学而网网整理 2017-11-24 字体大小: 分享到:

  本文介绍函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域。现举例说明。

  一、常规型

  即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

  例求函数的定义域。

  解:要使函数有意义,则必须满足

    


    由①解得 。 ③

    由②解得 

    ③和④求交集得x>5

    故所求函数的定义域为



  例求函数的定义域。

  解:要使函数有意义,则必须满足

    

    由①解得

    由②解得

    由③和④求公共部分,得

    

    故函数的定义域为

    评注:③和④怎样求公共部分?你会吗?


  二、抽象函数型

  抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。


  (1)已知的定义域,求的定义域。

    其解法是:已知的定义域是[ab]求的定义域是解,即为所求的定义域。

  例已知的定义域为[-22],求的定义域。

    解:令,得,即,因此,从而,故函数的定义域是


  (2)已知的定义域,求f(x)的定义域。

    其解法是:已知的定义域是[ab],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。



  例已知的定义域为[12],求f(x)的定义域。

  解:因为


    即函数f(x)的定义域是


  三、逆向型


  即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

  例已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。

  分析:函数的定义域为R,表明,使一切xR都成立,由项的系数是m,所以应分m=0进行讨论。

  解:当m=0时,函数的定义域为R

    当时,是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是

    

    综上可知


    评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。



  例已知函数的定义域是R,求实数k的取值范围。

  解:要使函数有意义,则必须0恒成立,因为的定义域为R,即无实数

    ①当k0时,恒成立,解得

    ②当k=0时,方程左边=30恒成立。

    综上k的取值范围是


  四、实际问题型

  这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。


  例将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函数的定义域。

  解:设矩形一边为x,则另一边长为于是可得矩形面积。

    


    

    由问题的实际意义,知函数的定义域应满足

    

    


  故所求函数的解析式为,定义域为(0)。



  例用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积yx的函数关系式,并求定义域。

  解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。


    因为CD=AB=2x,所以,所以

    故


    

    根据实际问题的意义知

    


    故函数的解析式为,定义域(0)。


  五、参数型

  对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。


  例已知的定义域为[01],求函数的定义域。

  解:因为的定义域为[01],即。故函数的定义域为下列不等式组的解集:

    ,即


    即两个区间[-a1a]与[a1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

    (1)当时,Fx)的定义域为

    (2)当时,Fx)的定义域为

    (3)当时,上述两区间的交集为空集,此时Fx)不能构成函数。


  六、隐含型

  有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。


  例10 求函数的单调区间。

  解:由,即,解得。即函数y的定义域为(-13)。

    函数是由函数复合而成的。


    ,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间上是增函数;在区间上是减函 数,而在其定义域上单调增;

,所以函数在区间上是增函数,在区间上是减函数。



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标签: 解题方法 函数定义域 (责任编辑:米露)

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